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18giu/14Off

Numeri

Dal Corriere del 18.6.14 articoli di Armando Torno “Numeri, alfabeto del mondo da Platone al bosone di Higgs” / di Roberta Cavallotti “Algebra, fortuna e senso comune i giochi (divertenti) della scienza” / di Ida Bozzi “Teoremi raccontati come un’avventura” / “”Il connubio inscindibile tra geometria proporzioni pittoriche e forme animali”" LEGGI DI SEGUITO

“”In un discorso amichevole con Guido Tonelli, fisico del Cern di Ginevra, uno dei protagonisti della scoperta del bosone di Higgs, ci siamo resi di nuovo conto che i numeri rimangono il linguaggio migliore per conoscere immediatamente chi siamo, dove andiamo e le nostre coordinate nello spazio e nel tempo. Ci confidava l’illustre scienziato: «Viviamo in un universo (per noi) molto grande che ha una dimensione di 10 alla 28 centimetri e che è piuttosto vecchio perché ha circa un’età di 13,8 miliardi di anni; è anche freddo, giacché ha soltanto una temperatura media di 3 gradi sopra lo zero assoluto. Della sua composizione sappiamo molto poco, dal momento che le nostre conoscenze si riferiscono a malapena al 5 per 100 dell’universo; il 27 per 100 è materia oscura (tiene insieme le galassie ma si ignora di cosa sia fatta), il 68 per 100 è ancora più misterioso perché è energia non nota che spinge tutto lontano da tutto e la cui origine è totalmente sconosciuta. Attraverso pochi numeri è possibile esprimere quello che si sa e quanto, per il momento, ignoriamo».
Sono bastate alcune battute, o meglio poco più di sei cifre, per evocare a nostro giudizio quel che sosteneva l’astrofisico inglese Sir James H. Jeans nel suo fascinoso saggio The Mysterious Universe , pubblicato a Cambridge nel 1930: «Il Grande Architetto dell’Universo ora comincia ad essere considerato un puro matematico». D’altra parte, Platone non aveva asserito che «Dio geometrizza sempre»? Questo detto, tramandatoci da Plutarco nelle Questioni conviviali , possiamo anche considerarlo definitivo per esprimere l’importanza della matematica — e di quei suoi soldati che sono i numeri e gli elementi geometrici — nella cultura non soltanto occidentale.
Già, la matematica. Non si può ignorare, né è possibile studiare filosofia senza tenerne conto; persino taluni argomenti religiosi chiedono di essere chiariti con il suo soccorso. Il primo pensatore occidentale, ovvero Talete, ha legato il nome a un teorema di geometria; Pitagora e la sua scuola hanno sostanzialmente divinizzato i numeri, ponendo i loro rapporti alla base della realtà e di quell’arte fugace (e allora divina) che è la musica. Del triangolo discussero i manichei, per i quali era immagine della Trinità divina, e sull’argomento intervenne Agostino per negare tale attribuzione. Ma già il filosofo platonico Senocrate (morto nel 314 a.C.) aveva considerato «divino» il triangolo equilatero e «demonico» quello isoscele; egli, comunque, non conosceva quanto aveva elaborato la Cabala ebraica nello Zohar , il Libro dello splendore : «In cielo gli occhi di Dio e la sua fronte costituiscono un triangolo, il cui riflesso forma un triangolo sulle acque». Il Sole, la Luna e Mercurio sono i simboli del triangolo alchemico. E, tra i mille fratelli geometrici che si potrebbero cercare in Cina o nel «Cuore di Hrungnir» (simbolo di epoca vichinga costituito da tre triangoli intrecciati), quello rettangolo fa ritornare a Pitagora e forse all’antico Egitto tra piramidi e misteri, a quel teorema che si sconta sui banchi di scuola. A proposito del quale Arthur Koestler ne I sonnambuli (tradotto da Jaca Book) commentava, evidenziando i rapporti tra i cateti e l’ipotenusa: «Fra la lunghezza dei lati di un triangolo rettangolo non sussiste alcun rapporto evidente; se però costruiamo un quadrato su ogni lato, la superficie dei due quadrati più piccoli corrisponde esattamente alla superficie del quadrato maggiore. Se leggi così mirabilmente ordinate e finora celate all’occhio umano potevano essere scoperte sprofondandosi nelle strutture costitutive dei numeri, non c’era forse la fondata speranza che tutti i segreti dell’universo sarebbero stati presto rivelati attraverso gli elementi del numero?».
La matematica non è noiosa, né fredda, né va confusa con gli esercizi che per alcuni anni della vita siamo costretti a risolvere incalzati dalla minaccia dei brutti voti. Non è soltanto calcolo; nemmeno va considerata una «scienza esatta», come amano ripetere i tecnici che la utilizzano per far quadrare le costruzioni di ponti e strade. Ma senza di essa cadrebbero le spiegazioni che tentiamo di dare, per esempio, all’universo di Leonardo, che la utilizzò anche per l’Ultima Cena , collocando apostoli e Gesù in punti topici di figure geometriche; ignorandola non potremmo capire le dimensioni virtuali che abitiamo con sempre più frequenza, grazie a Internet. La corrente formalistica affermò che la matematica è «la scienza del possibile» (per «possibile» va inteso quanto non implica contraddizione) e, se così fosse, questa disciplina non sarebbe parte della logica, né la presupporrebbe. Codesta concezione, sviluppata da Hilbert e dalla sua scuola negli anni Venti del Novecento, sostiene che la matematica si possa costruire come un semplice calcolo, senza altre interpretazioni.
Mai è mancata nei pensieri dei sommi dell’umanità, anzi a volte ha occupato gran parte della loro vita. Da Aristotele ad Einstein, da Newton a Galileo, da Pascal che vi rinunciò per darsi alla teologia a Gauss che desiderava convincere lo zar a tagliare in forme geometriche le foreste della Siberia per lanciare messaggi nell’universo, questa scienza è stata un riferimento indispensabile. Kant la studia, ne tratta in vari scritti e ne lascia una vera e propria filosofia nella Critica della ragion pura . Leibniz è anche un grande matematico oltre che un pensatore di rilievo. Persino Boezio, l’ultima mente speculativa dell’antichità latina, scrive opere di aritmetica e geometria; lo stesso Agostino non riesce a ignorarla e lo si deduce dalle preoccupazioni che gli giungono da taluni riflessi diffusi dagli scritti di Nicomaco di Gerasa, un tardo pitagorico che tra l’altro si interroga sul significato dei numeri primi e di quelli perfetti.
La letteratura degna di memoria la interroga, con essa riflette. Borges chiama i numeri transfiniti di Georg Cantor (estendono al caso di insiemi con infiniti elementi i concetti di numero cardinale e ordinale dell’aritmetica) «i vasti numeri che un uomo immortale non raggiungerebbe neppure se consumasse la sua eternità contando». Gadda, ingegnere, definisce l’ora «l’integrale dei fuggenti attimi». I teoremi di Euclide entrano nelle similitudini di Dante: «o se del mezzo cerchio far si puote/ triangol sì ch’un retto non avesse» (Paradiso XIII, 101-2). È appunto la proposizione che si legge nel libro terzo degli Elementi : «In un cerchio l’angolo (alla circonferenza inscritto) nel semicerchio è retto».
Materia che sarà ancora discussa ne I Fratelli Karamazov di Dostoevskij: il sommo russo, conoscendo la rivoluzione portata dal «Copernico della geometria», ovvero Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, ritorna lì angosciato ponendosi quesiti sulla natura euclidea o meno del mondo. Ivan confessa ad Alioša: «Ti dichiaro che accetto Dio, puramente e semplicemente. Ecco però quel che bisogna notare: se Dio esiste e se in realtà ha creato la terra, l’ha creata come ci è perfettamente noto, secondo la geometria euclidea, e ha creato lo spirito umano dandogli soltanto la nozione delle tre dimensioni dello spazio».
Anche in tal caso il discorso diventa infinito, ovvero assume caratteristiche che hanno bisogno a loro volta della matematica per essere spiegate. Chiudiamo questi brevi cenni con una considerazione di Robert Musil, scritta ne L’uomo senza qualità (citiamo dall’edizione Einaudi, tradotta da Anita Rho): «Quasi tutti gli uomini oggi si rendono ben conto che la matematica è entrata come un demone in tutte le applicazioni della vita. Forse non tutti credono alla storia del diavolo a cui si può vendere l’anima, ma quelli che di anima devono intendersene, perché in qualità di preti, storici e artisti ne traggono lauti guadagni, attestano che essa è stata rovinata dalla matematica, e che la matematica è l’origine di un perfido raziocinio che fa, sì, dell’uomo il padrone del mondo, ma lo schiavo della macchina». Cattivo? No, semplicemente attuale.”"

Algebra, fortuna e senso comune i giochi (divertenti) della scienza

“”Una misteriosa lista di simboli mistici e oscure regole, una delle materie più presenti negli incubi degli studenti, una roba per sgobboni come dice Paperino nella sua avventura nel «Mondo della Matemagica».
Questa è la matematica nell’immaginario collettivo. Eppure giocare con tale disciplina, esplorando con spirito di avventura campi in cui il giocatore non deve essere necessariamente competente, diventa una piacevole ed entusiasmante sfida non solo per la mente ma anche per lo spirito.
Nella quotidianità si celano quesiti intriganti, ed è proprio lì che si attiva la palestra della mente, un terreno fertile dove coltivare la passione per la ricerca e far fiorire le competenze. Il cosiddetto «senso comune» può trovare nella matematica un valido sostegno razionale, ma può, a volte, essere il prodotto dell’incapacità di interpretare la realtà con strumenti adeguati. Destino, Sfortuna o Fortuna sono parole che, una volta evocate, col loro suono, creano un assordante rumore di fondo atto a coprire una verità che ansia e paura rendono incomprensibile.
I ricercatori di neuroscienze educative hanno individuato proprio nell’ansia, e nelle risposte del cervello a questa condizione di disagio, uno dei motivi dell’avversione alla matematica. Durante la risoluzione di un quesito, lo stress da prestazione può persino inibire le capacità logiche innate. Quando la matematica viene utilizzata per dare valore a ciò che si vuole dimostrare, a volte il gioco è leale, a volte no.
L’avversione per questa disciplina è anche causata da esperienze negative e dal senso di disagio che si prova in situazioni nelle quali intuiamo che simboli e regole vengono usati per raggirare, confondere o umiliare. Valga come esempio l’uso strumentale di numeri e formule esibiti sul palcoscenico della crisi finanziaria attuale, dove la matematica viene usata come un fiocco per impacchettare una realtà di cui si vogliono volutamente enfatizzare o celare alcuni aspetti.
La realizzazione di un io consapevole si attua anche attraverso un rapporto con la matematica inteso come esplorazione e scoperta. Dunque un’esperienza umana significativa: la nostra àncora al reale. Provate a chiedere ad una persona se il senso di ciò che è giusto oppure equo ha a che fare con la matematica. Sicuramente vi risponderà di no. L’equità in ambito sociale è una questione estremamente complessa e al tempo stesso molto sentita, che ha radici nei fondamenti filosofici, ideologici e religiosi di ogni cultura. Il legislatore è chiamato a definire norme e criteri che garantiscano questo principio. La propensione all’equità è un’attitudine che dovrebbe determinare significativi effetti quotidiani. Non necessariamente, però, realizza i suoi obiettivi se applicata senza una reale consapevolezza. La matematica può essere un efficace strumento per stabilire se i criteri adottati portano allo scopo prefissato. Nei miei incubi di ex studentessa ricordo ancora l’ansia provata quando il docente di latino voleva accertarsi del grado di preparazione degli alunni e affidava alla sorte la scelta di chi doveva essere interrogato.
Apriva a caso un libro esclamando: «… Pagina 78… sette più otto fa quindici…» e poi, nel silenzio assordante, col dito indice scorreva l’elenco alfabetico del registro, fermandosi al numero quindici e pronunciando il nome dello studente. Questo metodo per decidere chi interrogare era considerato da noi alunni comunque equo, perché si affidava al caso. Ma la matematica giace dormiente tra le pieghe di quel libro, a noi il compito di risvegliarla e farla diventare nostra alleata.
Dice Paul Lockhart in Lamento di un matematico : «Se ciascuno fosse “esposto alla matematica” al suo stato naturale, con tutte le sfide, il divertimento e le sorprese che essa implica, penso che potremmo vedere un radicale cambiamento sia nell’atteggiamento delle persone verso la matematica sia nella nostra idea di ciò che significa essere bravi in matematica». E aggiunge: «Una parte del problema sta nel fatto che nessuno ha la più pallida idea di che cosa facciano i matematici».
Ai matematici piace riflettere sulle cose, anche le più semplici, spinti da una naturale curiosità. Quando gli studenti dicono che le lezioni di matematica sono stupide e noiose hanno ragione. La matematica è un’arte e come tale andrebbe insegnata e ai ragazzi fin dalla tenera età con metodologie che sviluppino la curiosità e l’amore per la creazione.
Torniamo al mio incubo giovanile: se un libro ha 130 pagine, l’alunno numero quattro del registro verrà interrogato quando il libro si aprirà alle pagine 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130 e avrà 9 probabilità su 130 di essere chiamato.
L’alunno numero due verrà interrogato quando il libro si aprirà alle pagine 2, 11, 20, 101, 110 e avrà 5 probabilità su 130. Se state leggendo questo articolo, prendete carta e penna e accettate la sfida. Ha più probabilità di essere interrogato l’alunno numero quattro o il numero quindici? E l’alunno numero diciannove quante probabilità avrà?
La risposta a quest’ultima domanda è: nessuna!
Ebbene sì, se un libro ha 130 pagine, nessun numero tra 1 e 130 è costituito da cifre la cui somma risulti diciannove.
I numeri sono chiari e dimostrano inconfutabilmente che lo strumento, ritenuto equo e utilizzato in assoluta buona fede, non lo è stato. A quel tempo, io, pur essendo brava in matematica, non lo avevo capito e credo neppure il mio insegnante di latino.
Roberta Cavallotti insegna Matematica alla scuola media «Italo Calvino» di via Frigia a Milano”"

Teoremi raccontati come un’avventura

“”Formule chiave che rivelano simmetrie dell’universo, geometrie naturali usate da artisti e architetti, come la sezione aurea, e addirittura enigmi irrisolti intorno ai quali si sono susseguiti studi e ipotesi: quella dei numeri è un’avventura affascinante, alla quale è dedicata la nuova collana del «Corriere della Sera» da oggi in edicola intitolata «La matematica come un romanzo». Ventiquattro volumi (ciascuno al costo di e 7,90 più il prezzo del quotidiano), in cui una disciplina tradizionalmente considerata complicata viene presentata con taglio rigoroso ma divulgativo, e mostra i propri aspetti più curiosi ma anche più profondi e umanistici, tra l’influenza sulla storia del pensiero e i legami con la filosofia. Il volume che inaugura l’iniziativa, in edicola oggi, è «L’ultimo teorema di Fermat» del giornalista scientifico Simon Singh, che racconta proprio una di queste avventure della matematica: un’avventura che comincia con Pitagora e continua nella Francia del ‘600, quando Pierre de Fermat enuncia un teorema bellissimo e misterioso, di cui, assicura, egli possiede la soluzione. Ma la morte lo coglie prima che la riveli, nel 1665, e passano più di tre secoli prima che il matematico Andrew Wiles, nel 1993, riesca a risolvere l’incredibile enigma. Il secondo volume, in edicola dal 25 giugno, sarà L’equazione dell’anima di Arthur Miller, che racconta invece l’ossessione di Wolfgang Pauli, uno dei più grandi scienziati del ‘900: un enigma che lo tormenta al punto da spingerlo a rivolgersi a Carl Gustav Jung. La collana continuerà nelle prossime settimane, fino al 26 novembre, con testi e monografie su temi come i numeri di Fibonacci, la congettura di Poincaré, la sezione aurea, il quadrato magico, addirittura una «prova matematica dell’inesistenza di Dio»: libri che incuriosiscono sulla storia di una scienza basilare e fanno riflettere sugli stessi fondamenti della realtà.”"

Il connubio inscindibile tra geometria proporzioni pittoriche e forme animali

“”La matematica, la geometria e l’arte, uno dei connubi più importanti della storia della cultura e della natura. Basti pensare, ad esempio, alla «prospettiva» e alle sue diverse codifiche e trattazioni, a partire dal De Pictura (1435) di Leon Battista Alberti fino alla geometria descrittiva di Gaspard Monge e soprattutto del suo allievo Jean-Victor Poncelet (1788 – 1867). Ma una dimostrazione dell’unione tra natura, arte e matematica si trova già nella «sezione aurea», cui è dedicato tra l’altro il volume numero 14 della collana del «Corriere della Sera», La sezione aurea di Mario Livio: si tratta di un rapporto di proporzioni che è noto anche come «costante di Fidia» (il Partenone è stato realizzato proprio sulla base della sezione aurea), o addirittura come «proporzione divina»; codificata già dai pitagorici, non solo si ritrova in natura, nella forma di animali e piante, dalla spirale del Nautilus al corpo arrotondato dei delfini, o nell’universo dei frattali, ma è «nascosta» in molti capolavori artistici, dalla Nascita di Venere di Botticelli alla Gioconda di Leonardo. Anche in opere del cubismo e dell’astrattismo, da Mondrian a Kandinskij (foto grande al centro ), si può trovare il rettangolo della sezione aurea, aggraziato e perfetto.”"

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